Bài tập

1. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa điều kiện \(f\left( x \right)+f\left( -x \right)=2\cos x\). Tính \(\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

2. Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x+1 \right)\text{d}x}=12\) và \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( {{\sin }^{2}}x \right)\sin 2x\text{d}x}=3\). Tính \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

3. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;4 \right]\) và \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=1}\); \(\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x=3}\) . Tính \(\int\limits_{-1}^{1}{f\left( \left| 3x-1 \right| \right)}\text{d}x\).

4. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\cot x.f\left( {{\sin }^{2}}x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{16}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{x}\text{d}x}=1\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{8}}^{1}{\frac{f\left( 4x \right)}{x}\text{d}x}\).

5. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=2;\,\,\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=6\). Tính \(I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( \left| 2x-1 \right| \right)\text{d}x}\).

6. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ -\ln 2;\ln 2 \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right)+f\left( -x \right)=\frac{1}{{{e}^{x}}+1}\). Biết \(\int\limits_{-\ln 2}^{\ln 2}{f\left( x \right)\text{d}x}=a\ln 2+b\ln 3\) \(\left( a;\,b\in \mathbb{Q} \right)\). Tính \(P=a+b\).

7. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_{1}^{16}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}\text{d}x}=6\) và \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos x\text{d}x}=3\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

8. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) là hàm lẻ và liên tục trên \(\left[ -4;4 \right]\) biết \(\int\limits_{-2}^{0}{f\left( -x \right)\text{d}x=2}\) và \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( -2x \right)\text{d}x=4}\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

9. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 1;4 \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right)=\frac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{x}\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{3}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

10. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( -x \right)+2018f\left( x \right)=2x\sin x\). Tính \(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}\).

11. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(f\left( x \right)=6{{x}^{2}}f\left( {{x}^{3}} \right)-\frac{6}{\sqrt{3x+1}}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x\).

12. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và các tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)\text{d}x}=4\) và \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x}=2\), tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

13. Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=4\), \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=6\). Tính \(I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\text{d}x}\).

14. Cho \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(\int\limits_{1}^{9}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}\text{d}x}=4\) và \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos x\text{d}x}=2\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}\).