Sự đồng biến nghịch biến của hàm số.
Làm bài trắc nghiệm trực tuyến với gói câu hỏi gồm 318 câu trắc nghiệm khách quan có lời giải chi tiết.
Bài rèn luyện với mức độ cơ bản. Các em học sinh làm bài với 20 câu ngẫu nhiên trong mỗi lượt.
Kết quả làm bài và lời giải chi tiết có thể tải về dưới dạng file PDF.
Làm bài ngay khung dưới đây.
Nhắc lại định nghĩa
Kí hiệu \(K\) là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
Giả sử hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(K\). Ta nói
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến (tăng) trên \(K\) nếu với mọi \({{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\) thuộc \(K\) mà \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) thì \(f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)\);
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) nghịch biến (giảm) trên \(K\) nếu với mọi \({{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\) thuộc \(K\) mà \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) thì \(f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)\).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên \(K\) được gọi chung là đơn điệu trên \(K\).
Nếu hàm số đồng biến trên \(K\) thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên \(K\) thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải.
Định lí
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(K\).
a) Nếu \({f}’\left( x \right)>0\) với mọi \(x\) thuộc \(K\) thì \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\).
b) Nếu \({f}’\left( x \right)<0\) với mọi \(x\) thuộc \(K\) thì \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\).
ĐỊNH LÍ MỞ RỘNG
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(K\). Nếu \({f}’\left( x \right)\ge 0\) \(\left( {f}’\left( x \right)\le 0 \right)\) với mọi \(x\) thuộc \(K\) và \({f}’\left( x \right)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì \(f\left( x \right)\) đồng biến (nghịch biến) trên \(K\).
Quy tắc
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số \(y=f\left( x \right)\):
1. Tìm tập xác định. Tính \({f}’\left( x \right)\).
2. Tìm các điểm tại đó \({f}’\left( x \right)\) bằng \(0\) hoặc \({f}’\left( x \right)\) không xác định.
3. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và và lập bảng biến thiên.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+1\).
Giải
1. Tập xác định của hàm số: \(D=\mathbb{R}\).
Đạo hàm: \({y}’=3{{x}^{2}}-3\),
2. Tìm các điểm đạo hàm bằng \(0\) hoặc không xác định:
\({y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=1 \end{align} \right.\).
3. Lập bảng biến thiên:
4. Nêu kết luận:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( -1;1 \right)\).
Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
Giải
1. Tập xác định của hàm số: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Đạo hàm: \({y}’=\frac{\left( x-1 \right)-\left( x+1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\).
2. \({y}’\) không xác định tại \(x=1\) và \({y}’=\frac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0\text{ }\forall x\ne 1\).
3. Lập bảng biến thiên:
4. Nêu kết luận:
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right)\).
Để lại một phản hồi