Phương trình vi phân trong bài toán tích phân

1. Xét hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn điều kiện \(f\left( 1 \right)=1\) và \(f\left( 2 \right)=4\). Tính \(J=\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{{f}’\left( x \right)+2}{x}-\frac{f\left( x \right)+1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}\).

2. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 1;2 \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=4\) và \(f\left( x \right)=x{f}’\left( x \right)-2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\). Tính \(f\left( 2 \right)\).

3. Cho hàm số  \(f\left( x \right)\) thỏa mãn điều kiện \(f(x)\ne 0,\text{ }\forall x\ge 0\);  \(f\left( 0 \right)=-\frac{1}{2}\) và \({f}’\left( x \right)=\left( 2x+3 \right){{f}^{2}}\left( x \right),\text{ }\forall x\ge 0\). Biết \(f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+…+f\left( 2018 \right)=\frac{a}{b}\) với \(\left( a\in \mathbb{Z},\,\,b\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?

4. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1;4 \right]\), đồng biến trên đoạn \(\left[ 1;4 \right]\) và thỏa mãn đẳng thức \(x+2x.f\left( x \right)\) \(={{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}\), \(\forall x\in \left[ 1;4 \right]\). Biết rằng \(f\left( 1 \right)=\frac{3}{2}\), hãy tính \(I=\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

5. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({{\left( {f}’\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right).{f}”\left( x \right)=15{{x}^{4}}+12x\), \(\forall x\in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)={f}’\left( 0 \right)=1\). Giá trị của \({{\left[ f\left( 1 \right) \right]}^{2}}\) bằng

6. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) đồng thời thỏa mãn điều kiện: \(f\left( x \right)=x\left( \sin x+f’\left( x \right) \right)+\cos x\) và \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( x \right)\sin x\text{d}x=-4.}\) Khi đó, \(f\left( \pi  \right)\) nằm trong khoảng nào sau đây?

7. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty  \right)\); \(y=f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 3 \right)=\frac{2}{3}\) và \({{\left[ f’\left( x \right) \right]}^{2}}=\left( x+1 \right).f\left( x \right)\). Đặt \(T={{\left[ f(8) \right]}^{2}}\), mệnh đề nào dưới đây đúng?

8. Giả sử hàm số \(f(x)\) liên tục, dương trên \(\mathbb{R}\); thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=1\) và \(({{x}^{2}}+1){f}’\left( x \right)=xf(x)\). Khi đó giá trị  \(T=f\left( 2\sqrt{2} \right)-2f\left( 1 \right)\) thuộc khoảng

9. Cho hàm số  \(f\left( x \right)\) thỏa mãn  \(f\left( 2 \right)=-\frac{1}{25}\) và  \({f}’\left( x \right)=4{{x}^{3}}.{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\) với mọi  \(x\in \mathbb{R}\). Giá trị của  \(f\left( 1 \right)\) bằng

10. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp \(2\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả

 \(\left\{ \begin{align} & f\left( x \right)>0,\,\forall \,x\in \,\mathbb{R}, \\  & f\left( 0 \right)={f}’\left( 0 \right)=1, \\  & x{{y}^{2}}+{{{{y}’}}^{2}}=y{{y}’}’,\,\forall \,x\in \mathbb{R}. \end{align} \right.\).

Đặt \(T=\ln \left[ f(1) \right]\), mệnh đề nào sau đây đúng?

11. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Với mọi giá trị của \(x\) luôn có \(y\ne 0\),  \({y}’={{x}^{2}}y\). Biết \(f\left( -1 \right)=1\) hãy tính giá trị \(f\left( 2 \right)\).

12. Giả sử hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=1\), \(f\left( x \right)={f}’\left( x \right).\sqrt{3x+1}\), với mọi \(x>0\). Đặt \(T=f(5)\), mệnh đề nào sau đây đúng?

13. Cho hàm số  \(y=f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\) thỏa mãn \({f}’\left( x \right)=\tan x.f\left( x \right)\), \(\forall x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\), \(f\left( 0 \right)=1\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos x.f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng

14. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right)=\frac{1}{15}\) và \({f}’\left( x \right)+\left( 2x+4 \right){{f}^{2}}\left( x \right)=0\). Tính \(f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)\).

15. Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ 1;\,4 \right]\) và thỏa mãn hệ thức \(\left\{ \begin{align} & f\left( 1 \right)+g\left( 1 \right)=4 \\ & g\left( x \right)=-x.{f}’\left( x \right)\,\, \\ & f\left( x \right)=-x.{g}’\left( x \right) \end{align} \right.\). Tính \(I=\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\).

16. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \{-1\}\), thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=-1\) và \((x+1)f'(x)+f(x)=3{{x}^{2}}-2x\). Giá trị \(f\left( 2 \right)\) là

17. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\), thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=\sqrt{3}\) và \(f\left( x \right).{f}’\left( x \right)=\cos x.\sqrt{1+{{f}^{2}}\left( x \right)}\), \(\forall x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\). Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2} \right]\).

18. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=1\) và \(f'(x)+f(x)=\sin x\). Giá trị \(T={{e}^{\pi }}.f\left( \pi  \right)\) là

19. Cho hàm số  \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục và khác không trên đoạn  \(\left[ 0;\,1 \right]\) đồng thời thỏa mãn các điều kiện  \({f}’\left( 0 \right)=-1\) và  \({{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}={{f}”}\left( x \right)\). Đặt  \(T=f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)\), hãy chọn khẳng định đúng.

20. Cho hàm số \(f\) liên tục, \(f\left( x \right)>-1\), \(f\left( 0 \right)=0\) và thỏa \({f}’\left( x \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f\left( x \right)+1}\). Tính \(f\left( \sqrt{3} \right)\).