Phương trình vi phân trong bài toán tích phân

Bài giảng phương trình vi phân trong bài toán tích phân có thời lượng 24 phút.

Nội dung là các bài toán tìm nguyên hàm và tính tích phân hàm ẩn. Trong giả thiết của bài toán có các dữ kiện được cho dưới dạng phương trình vi phân. Đó là các dữ kiện dưới dạng đẳng thức liên hệ giữa biến số, hàm số và đạo hàm của hàm số.

Đây là bài giảng thứ năm và  cũng là bài giảng cuối trong chủ đề tích phân hàm ẩn.

Bài giảng dành cho các học sinh quan tâm đến các câu mức vận dụng và dụng cao. Bài giảng phù hợp với các em phấn đấu đạt mức điểm 8+.

Phía dưới bài giảng là bài trắc nghiệm online để rèn luyện.

1. Xét hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn điều kiện \(f\left( 1 \right)=1\) và \(f\left( 2 \right)=4\). Tính \(J=\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{{f}’\left( x \right)+2}{x}-\frac{f\left( x \right)+1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}\).

A.
B.
C.
D.

Câu 1 trên 20

2. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 1;2 \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=4\) và \(f\left( x \right)=x{f}’\left( x \right)-2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\). Tính \(f\left( 2 \right)\).

A.
B.
C.
D.

Câu 2 trên 20

3. Cho hàm số  \(f\left( x \right)\) thỏa mãn điều kiện \(f(x)\ne 0,\text{ }\forall x\ge 0\);  \(f\left( 0 \right)=-\frac{1}{2}\) và \({f}’\left( x \right)=\left( 2x+3 \right){{f}^{2}}\left( x \right),\text{ }\forall x\ge 0\). Biết \(f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+…+f\left( 2018 \right)=\frac{a}{b}\) với \(\left( a\in \mathbb{Z},\,\,b\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
B.
C.
D.

Câu 3 trên 20

4. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1;4 \right]\), đồng biến trên đoạn \(\left[ 1;4 \right]\) và thỏa mãn đẳng thức \(x+2x.f\left( x \right)\) \(={{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}\), \(\forall x\in \left[ 1;4 \right]\). Biết rằng \(f\left( 1 \right)=\frac{3}{2}\), hãy tính \(I=\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

A.
B.
C.
D.

Câu 4 trên 20

5. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({{\left( {f}’\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right).{f}”\left( x \right)=15{{x}^{4}}+12x\), \(\forall x\in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)={f}’\left( 0 \right)=1\). Giá trị của \({{\left[ f\left( 1 \right) \right]}^{2}}\) bằng

A.
B.
C.
D.

Câu 5 trên 20

6. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) đồng thời thỏa mãn điều kiện: \(f\left( x \right)=x\left( \sin x+f’\left( x \right) \right)+\cos x\) và \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( x \right)\sin x\text{d}x=-4.}\) Khi đó, \(f\left( \pi  \right)\) nằm trong khoảng nào sau đây?

A.
B.
C.
D.

Câu 6 trên 20

7. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty  \right)\); \(y=f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 3 \right)=\frac{2}{3}\) và \({{\left[ f’\left( x \right) \right]}^{2}}=\left( x+1 \right).f\left( x \right)\). Đặt \(T={{\left[ f(8) \right]}^{2}}\), mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
B.
C.
D.

Câu 7 trên 20

8. Giả sử hàm số \(f(x)\) liên tục, dương trên \(\mathbb{R}\); thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=1\) và \(({{x}^{2}}+1){f}’\left( x \right)=xf(x)\). Khi đó giá trị  \(T=f\left( 2\sqrt{2} \right)-2f\left( 1 \right)\) thuộc khoảng

A.
B.
C.
D.

Câu 8 trên 20

9. Cho hàm số  \(f\left( x \right)\) thỏa mãn  \(f\left( 2 \right)=-\frac{1}{25}\) và  \({f}’\left( x \right)=4{{x}^{3}}.{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\) với mọi  \(x\in \mathbb{R}\). Giá trị của  \(f\left( 1 \right)\) bằng

A.
B.
C.
D.

Câu 9 trên 20

10. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp \(2\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả

 \(\left\{ \begin{align} & f\left( x \right)>0,\,\forall \,x\in \,\mathbb{R}, \\  & f\left( 0 \right)={f}’\left( 0 \right)=1, \\  & x{{y}^{2}}+{{{{y}’}}^{2}}=y{{y}’}’,\,\forall \,x\in \mathbb{R}. \end{align} \right.\).

Đặt \(T=\ln \left[ f(1) \right]\), mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
B.
C.
D.

Câu 10 trên 20

11. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Với mọi giá trị của \(x\) luôn có \(y\ne 0\),  \({y}’={{x}^{2}}y\). Biết \(f\left( -1 \right)=1\) hãy tính giá trị \(f\left( 2 \right)\).

A.
B.
C.
D.

Câu 11 trên 20

12. Giả sử hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=1\), \(f\left( x \right)={f}’\left( x \right).\sqrt{3x+1}\), với mọi \(x>0\). Đặt \(T=f(5)\), mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
B.
C.
D.

Câu 12 trên 20

13. Cho hàm số  \(y=f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\) thỏa mãn \({f}’\left( x \right)=\tan x.f\left( x \right)\), \(\forall x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\), \(f\left( 0 \right)=1\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos x.f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng

A.
B.
C.
D.

Câu 13 trên 20

14. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right)=\frac{1}{15}\) và \({f}’\left( x \right)+\left( 2x+4 \right){{f}^{2}}\left( x \right)=0\). Tính \(f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)\).

A.
B.
C.
D.

Câu 14 trên 20

15. Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ 1;\,4 \right]\) và thỏa mãn hệ thức \(\left\{ \begin{align} & f\left( 1 \right)+g\left( 1 \right)=4 \\ & g\left( x \right)=-x.{f}’\left( x \right)\,\, \\ & f\left( x \right)=-x.{g}’\left( x \right) \end{align} \right.\). Tính \(I=\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\).

A.
B.
C.
D.

Câu 15 trên 20

16. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \{-1\}\), thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=-1\) và \((x+1)f'(x)+f(x)=3{{x}^{2}}-2x\). Giá trị \(f\left( 2 \right)\) là

A.
B.
C.
D.

Câu 16 trên 20

17. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\), thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=\sqrt{3}\) và \(f\left( x \right).{f}’\left( x \right)=\cos x.\sqrt{1+{{f}^{2}}\left( x \right)}\), \(\forall x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\). Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2} \right]\).

A.
B.
C.
D.

Câu 17 trên 20

18. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=1\) và \(f'(x)+f(x)=\sin x\). Giá trị \(T={{e}^{\pi }}.f\left( \pi  \right)\) là

A.
B.
C.
D.

Câu 18 trên 20

19. Cho hàm số  \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục và khác không trên đoạn  \(\left[ 0;\,1 \right]\) đồng thời thỏa mãn các điều kiện  \({f}’\left( 0 \right)=-1\) và  \({{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}={{f}”}\left( x \right)\). Đặt  \(T=f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)\), hãy chọn khẳng định đúng.

A.
B.
C.
D.

Câu 19 trên 20

20. Cho hàm số \(f\) liên tục, \(f\left( x \right)>-1\), \(f\left( 0 \right)=0\) và thỏa \({f}’\left( x \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f\left( x \right)+1}\). Tính \(f\left( \sqrt{3} \right)\).

A.
B.
C.
D.

Câu 20 trên 20


 

Triết Thiềm
Giới thiệu Triết Thiềm 39 bài viết
Giáo viên dạy toán phổ thông, đã dạy qua ba mươi cái niên học. Hiện đang xây dựng trang dạy học toán, làm chuyện vớ vẩn để giải sầu. Nếu thấy thích bài viết, hãy chia sẻ cho bạn bè cùng xem.

Hãy bình luận đầu tiên

Để lại một phản hồi

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiện thị công khai.


*