Bất đẳng thức tích phân – Bài giảng

1. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;\,1 \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=1\), \(\,\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x=\frac{9}{5}}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( \sqrt{x} \right)\text{d}x}=\frac{2}{5}\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

2. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}’\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({f}’\left( x \right)\in \left[ -1;1 \right]\) với \(\forall x\in \left( 0;2 \right)\). Biết \(f\left( 0 \right)=f\left( 2 \right)=1\). Đặt \(I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}\), phát biểu nào dưới đây đúng?

3. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2\sqrt{2}f\left( x \right)\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]\text{d}x}=\frac{2-\pi }{2}\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng

4. Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(f\left( 0 \right)=0\), \({f}’\left( x \right)\le 10\), \(\forall x\in \mathbb{R}\). Tìm giá trị lớn nhất mà \(f\left( 3 \right)\) có thể đạt được.

5. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\), \(f\left( x \right)\) và \({f}’\left( x \right)\) đều nhận giá trị dương trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=2\), \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ {f}’\left( x \right).{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+1 \right]}\,\text{d}x=2\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{{f}’\left( x \right)}}.f\left( x \right)\text{d}x\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}\text{d}x}\).

6. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}’\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 0;\,1 \right]\) thỏa \(f\left( 1 \right)=0\), \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left( {f}’\left( x \right) \right)}^{2}}\text{dx}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{8}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{\text{cos}\left( \frac{\pi }{2}x \right)f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

7. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=0\), \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{{{\left[ f’\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=\frac{\pi }{4}\) và \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\cos x\,f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{\pi }{4}\). Tính \(f\left( 2018\pi  \right)\).

 

8. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right){{\text{e}}^{x}}f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{{{\text{e}}^{2}}-1}{4}}\) và \(f\left( 1 \right)=0\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

9. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) và \(f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)=0\). Biết \(\int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}\), \(\int\limits_{0}^{1}{{f}’\left( x \right)\text{cos}\left( \pi x \right)\text{d}x}=\frac{\pi }{2}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

10. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=1\), \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=9\) và \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng

11. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=1\) và \(3\int\limits_{0}^{1}{\left[ {f}’\left( x \right){{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+\frac{1}{9} \right]\text{d}x}\le 2\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{{f}’\left( x \right)}f\left( x \right)\text{d}x}\). Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}\text{d}x}\).

12. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1;2 \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}f\left( x \right)\text{d}x}=-\frac{1}{3}\), \(f\left( 2 \right)=0\) và \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}’\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=7\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}\).