Tích phân hàm đặc biệt – Bài giảng

Bài giảng tích phân hàm đặc biệt có thời lượng 16 phút.

Bài giảng dành cho các em quan tâm đến câu hỏi ở mức vận dụng và vận dụng cao.

Nội dung là bài toán tính tích phân của một số hàm có tính chất đặc biệt. Bao gồm tính chẵn, lẻ và một số tính chất khác của hàm số.

Một số dạng toán không đề cập trong bài giảng nhưng  có thể xuất hiện trong bài tập.

Sau bài giảng có bài trắc nghiệm online gồm 16 câu trộn ngẫu nhiên theo từng mức độ.

Đáp án và lời giải của các câu hỏi sẽ được đưa ra sau khi nộp bài.

Mức độ 2

1. Cho \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) và \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ. Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=5\); \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)\text{d}x}=7\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.
B.
C.
D.

Câu 1 trên 16

2. Cho số dương \(a\) và hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right)+f\left( -x \right)=a\), \(\forall x\in \mathbb{R}\). Giá trị \(\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
A.
B.
C.
D.

Câu 2 trên 16

Mức độ 3

3. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x.\) Tính tích phân \(I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}\text{d}x}\).
A.
B.
C.
D.

Câu 3 trên 16

4. Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=2018\) và \(g\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(g\left( x \right)+g\left( -x \right)=1\) \(\forall x\in \mathbb{R}\). Tính tích phân \(\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{g}\left( x \right)\text{d}x}\).
A.
B.
C.
D.

Câu 4 trên 16

5. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) và thỏa mãn \(2f\left( 3x \right)+3f\left( \frac{2}{x} \right)=-\frac{15x}{2}\), \(\int\limits_{3}^{9}{f\left( x \right)\text{d}x}=k\). Tính \(I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}{f\left( \frac{1}{x} \right)\text{d}x}\) theo \(k\).
A.
B.
C.
D.

Câu 5 trên 16

6. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị dương trên \(\left[ 0;1 \right]\). Biết \(f\left( x \right).f\left( 1-x \right)=1\), \(\forall x\in \left[ 0;1 \right]\). Tính giá trị \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{1+f\left( x \right)}}\).
A.
B.
C.
D.

Câu 6 trên 16

7. Xét hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) và thỏa mãn điều kiện \(2f\left( x \right)-3f\left( 1-x \right)=x\sqrt{1-x}\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\).
A.
B.
C.
D.

Câu 7 trên 16

8. Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(3f\left( -x \right)-2f\left( x \right)={{\tan }^{2}}x\). Tính \(\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{f\left( x \right)\text{d}x}\).
A.
B.
C.
D.

Câu 8 trên 16

9. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( 4-x \right)=f\left( x \right).\) Biết \(\int\limits_{1}^{3}{xf\left( x \right)\text{d}x}=5\), hãy tính \(I=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}\).
A.
B.
C.
D.

Câu 9 trên 16

10. Cho \(y=f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x=}\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=1\). Giá trị của \(\int\limits_{-2}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}\text{d}x}\) bằng
A.
B.
C.
D.

Câu 10 trên 16

11. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa điều kiện \(f\left( x \right)+f\left( -x \right)=2\cos x\). Tính \(\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}\).
A.
B.
C.
D.

Câu 11 trên 16

Mức độ 4

12. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right)+f\left( \frac{\pi}{2}-x \right)=\sin x.\cos x\), \(\forall x\in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)=0\). Giá trị của tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{x.{f}’\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
A.
B.
C.
D.

Câu 12 trên 16

13. Cho \(f(x)\) là một hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right)+f\left( -x \right)=\sqrt{2-2\cos 2x}\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{-\frac{3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}\).
A.
B.
C.
D.

Câu 13 trên 16

14. Biết \(\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x} dx}=\frac{{{\pi }^{a}}}{b}\) trong đó \(a,\, b\) là các số nguyên dương. Tính \(P=2a+b\).
A.
B.
C.
D.

Câu 14 trên 16

15. Cho hàm số chẵn \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f\left( 2x \right)}{1+{{2}^{x}}}\text{d}x=8}\). Tính \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}\).
A.
B.
C.
D.

Câu 15 trên 16

16. Cho số thực \(a>0\). Giả sử hàm số \(f(x)\) liên tục và luôn dương trên đoạn \(\left[ 0;a \right]\) thỏa mãn \(f(x).f(a-x)=1\), \(\forall x\in [0;a]\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f\left( x \right)}}\text{d}x\).
A.
B.
C.
D.

Câu 16 trên 16


 

Hãy bình luận đầu tiên

Để lại một phản hồi

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiện thị công khai.


*