Tích phân từng phần

1. Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}\text{d}x}\) bằng cách đặt \(u=2x+1\), \(\text{d}v={{e}^{x}}\text{d}x\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

2. Biết \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}\text{d}x=\frac{b}{c}+a\ln 2}\) (với \(a\) là số thực, \(b\), \(c\) là các số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản). Tính giá trị của \(2a+3b+c\).

3. Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{\text{e}}{x\ln x\text{d}x}\).

4. Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos x\,\text{d}x}\).

5. Tính tích phân \(I=\int\limits_{4}^{5}{\left( x+1 \right)\ln \left( x-3 \right)\text{d}x}\).

6. Biết rằng \(\int\limits_{2}^{3}{x\ln x}\,\text{d}x=m\ln 3+n\ln 2+p\), trong đó \(m,n,p\in \mathbb{Q}\). Khi đó số \(m\) là

7. Biết \(\int{x{{e}^{2x}}\text{d}x=ax}{{e}^{2x}}+b{{e}^{2x}}+C\text{ }\left( a,\text{ }b\in \mathbb{Q} \right).\) Tính tích \(ab\).

8. Biết \(\int\limits_{0}^{2}{2x\ln \left( x+1 \right)\text{d}x}=a.\ln b\), với \(a,\ b\in {{\mathbb{N}}^{*}}\), \(b\) là số nguyên tố. Tính \(6a+7b\).

9. Tích phân \(\int\limits_{0}^{100}{x.{{\text{e}}^{2x}}\text{d}x}\) bằng

10. Biết rằng \(\int\limits_{1}^{2}{\ln \left( x+1 \right)\text{d}x}=a\ln 3+b\ln 2+c\) với \(a,b,c\) là các số nguyên. Tính \(S=a+b+c\).

11. Tích phân \(\int\limits_{0}^{\pi }{\left( 3x+2 \right){{\cos }^{2}}x\,\text{d}x}\) bằng

12. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trong đoạn \(\left[ 1;\text{e} \right]\), biết \(\int\limits_{1}^{\text{e}}{\frac{f\left( x \right)}{x}\text{d}x}=1\), \(f\left( \text{e} \right)=1\). Khi đó \(I=\int\limits_{1}^{\text{e}}{{f}'\left( x \right).\ln x\text{d}x}\) bằng

13. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 1;2 \right]\) và \(\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right){f}'\left( x \right)\text{d}x}=a\). Tính \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}\) theo \(a\) và \(b=f\left( 2 \right)\).

14. Biết \(I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{3+\ln x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,}\text{d}x\)\(=a\left( 1+\ln 3 \right)-b\ln 2\), \(\left( a,b\in \mathbb{Q} \right)\). Khi đó \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) bằng

15. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x.f\left( x \right)\text{d}x=f\left( 0 \right)}\,=1\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos x.{f}'\left( x \right)\text{d}x}\).

16. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;2 \right]\) và \(f\left( 2 \right)=3\), \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=3\). Tính \(\int\limits_{0}^{2}{x.{f}'\left( x \right)\text{d}x}\).

17. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{1}{x\left[ {f}'\left( x \right)-2 \right]\text{d}x}=f\left( 1 \right)\). Giá trị của \(I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng

18. Cho hai hàm số liên tục \(f\) và \(g\) có nguyên hàm lần lượt là \(F\) và \(G\) trên đoạn \(\left[ 1;2 \right].\) Biết rằng \(F\left( 1 \right)=1\), \(F\left( 2 \right)=4\), \(G\left( 1 \right)=\frac{3}{2}\), \(G\left( 2 \right)=2\) và \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)G\left( x \right)\text{d}x}=\frac{67}{12}.\) Tính \(\int\limits_{1}^{2}{F\left( x \right)g\left( x \right)\text{d}x}\).