Tích phân – Định nghĩa và tính chất

1. Tính tích phân \(I=\int\limits_{-1}^{1}{(4{{x}^{3}}-3)\text{d}x}\).

2. Tích phân \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\text{d}x}{{{\sin }^{2}}x}}\) bằng

3. Tích phân \(I=\int\limits_{1}^{\text{e}}{\frac{1}{x+3}\text{d}x}\) bằng

4. Cho \(I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=3}\). Khi đó \(J=\int\limits_{0}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-3 \right]\text{d}x}\) bằng

5. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 0;\,10 \right]\), biết \(\int\limits_{0}^{10}{f\left( x \right)\text{d}x=7}\) và \(\int\limits_{2}^{6}{f\left( x \right)\text{d}x=3}\). Tính \(P=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x+\int\limits_{6}^{10}{f\left( x \right)\text{d}x}}\).

6. Biết \(\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos xdx}=a+b\sqrt{3}\), với \(a\,\), \(b\) là các số hữu tỉ. Tính \(T=2a+6b\).

7. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \({f}'\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ -1;3 \right]\), \(f\left( -1 \right)=3\) và \(\int\limits_{-1}^{3}{{f}'(x)\,\text{d}x=10}\) giá trị của \(f\left( 3 \right)\) bằng

8. Cho hàm \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 2;3 \right]\) đồng thời \(f\left( 2 \right)=2\), \(f\left( 3 \right)=5\). Tính \(\int\limits_{2}^{3}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}\).

9. Tính tích phân \(I=\int\limits_{1}^{\text{e}}{\frac{1+x}{{{x}^{2}}}\text{d}x}\).

10. Cho hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) liên tục trên đoạn \([1;2]\) và có \(\int\limits_{1}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)+2g\left( x \right) \right]\text{d}x}=1\), \(\int\limits_{1}^{2}{\left[ 2f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}=-3\). Khi đó, \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng